Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

1. Ρητοί αριθμοί

Οι ρητοί αριθμοί χωρίζονται σε αρνητικούς και θετικούς.

Αρνητικοί: μικρότεροι από το 0, για παράδειγμα −8 και −6.
Θετικοί: μεγαλύτεροι από το 0, για παράδειγμα +12, +9 και +7.
Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

2. Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από το 0 στον άξονα. Συμβολίζεται με δύο κάθετες γραμμές.

|+11| = 11 |−13| = 13 |0| = 0

Αν x > 0, τότε |x| = x.
Αν x < 0, τότε |x| = −x. Το −x είναι θετικό, γιατί ο x είναι αρνητικός.
Αν x = 0, τότε |x| = 0.

Σύγκριση. Η πρόταση −13 > 7 είναι λάθος: κάθε αρνητικός είναι μικρότερος από κάθε θετικό. Η σύγκριση των απολύτων τιμών |−13| > |7| είναι σωστή, γιατί 13 > 7.

3. Πρόσθεση ρητών

Ίδιο πρόσημο

Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε το κοινό πρόσημο.

(−9) + (−4) = −13 (+12) + (+7) = +19

Διαφορετικό πρόσημο

Αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

(+8) + (−15) = −7 (−4) + 13 = +9

(−7) + 2 + 6 + 5 − 3 + 4 = 7. Προχωράς έναν αριθμό τη φορά.

4. Αφαίρεση ρητών

Αφαίρεση είναι η πρόσθεση του πρώτου αριθμού με τον αντίθετο του δεύτερου.

α − β = α + (−β)

27 − 14 = 27 + (−14) = 13

52 − 17 = 52 + (−17) = 35

(−7) − 6 = (−7) + (−6) = −13

21 − 8 − 13 = 0

5. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Κανόνες προσήμων. Ισχύουν και για τη διαίρεση.

(+) · (+) = (+) (−) · (−) = (+)
(+) · (−) = (−) (−) · (+) = (−)

(−6) · (+4) = −24

(−8) : (+12) = −8/12 = −2/3

(−2/9) : (−2) = (−2/9) · (−1/2) = 2/18 = 1/9

Στη διαίρεση με ακέραιο, πολλαπλασιάζεις με τον αντίστροφο. Δύο αρνητικά δίνουν θετικό πηλίκο: διαιρείς τις απόλυτες τιμές.

6. Επιμεριστική ιδιότητα

α · (β + γ) = α · β + α · γ

α · (β − γ) = α · β − α · γ

(α + β) · (γ + δ) = α·γ + α·δ + β·γ + β·δ

0,4 · 8 + 0,6 · 8 = (0,4 + 0,6) · 8 = 1 · 8 = 8

(x + 3) · (x + y + 6) = x² + xy + 6x + 3x + 3y + 18 = x² + xy + 9x + 3y + 18

(x − 6) · (y − 1) = xy − x − 6y + 6

7. Πηλίκο και ανάγωγο κλάσμα

Το πηλίκο του α προς τον β, όπου β ≠ 0, είναι ο λόγος του α προς τον β, δηλαδή το κλάσμα α/β.

α/β = α · (1/β)

Ανάγωγη σημαίνει απλοποίηση: αριθμητής και παρονομαστής δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του 1. Για παράδειγμα, το 8/12 ανάγεται σε 2/3.

(−14)/(−2) + (−1)/3 + 4/(7 − 3)
= 7 − 1/3 + 4/4
= 7 − 1/3 + 1 = 8 − 1/3 = 24/3 − 1/3 = 23/3

Άλλη γραφή, με αρνητικό παρονομαστή:
14/2 + 1/3 + 4/(−4) = 7 + 1/3 − 1 = 6 + 1/3 = 19/3
Το 4/(−4) είναι −1. Με παρονομαστή 3, το 7 γράφεται 21/3, άρα (21 + 1 − 3)/3 = 19/3.

Πρώτα υπολογίζεις τον παρονομαστή, μετά απλοποιείς, και στο τέλος γράφεις ομώνυμα κλάσματα.

8. Περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα

Αν η περίοδος έχει δύο ψηφία, θέτεις τον αριθμό ίσο με X, πολλαπλασιάζεις με 100 και αφαιρείς, ώστε η περίοδος να φύγει.

X = 6,272727… (επαναλαμβάνεται το 27)
100X = 627,272727…
100X − X = 621
99X = 621
X = 621/99 = 69/11

Το 99 βγαίνει γιατί 100 − 1 = 99. Η περίοδος έχει δύο ψηφία, γι’ αυτό πολλαπλασιάζουμε με 100.

9. Υπολογισμός με δύο τρόπους

Πρώτος τρόπος: υπολογίζεις πρώτα την παρένθεση.

Δεύτερος τρόπος: αν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει μείον, αλλάζουν πρόσημο όλοι οι όροι μέσα της.

8 + (6 − 17)
α) 6 − 17 = −11, άρα 8 + (−11) = −3
β) 8 + 6 − 17 = 14 − 17 = −3

15 − (8 − 3 + 1)
α) 8 − 3 + 1 = 6, άρα 15 − 6 = 9
β) 15 − 8 + 3 − 1 = 7 + 3 − 1 = 9

Εξάσκηση

Κάθε σωστή απάντηση δίνει 1 πόντο. Η εξήγηση φαίνεται αφού πατήσεις Έλεγχος.

Πρόσημα και απόλυτη τιμή

Πρόσθεση και αφαίρεση

Πολλαπλασιασμός, διαίρεση, κλάσματα

Κουίζ

Διάλεξε μία απάντηση και πάτησε Έλεγχος.

Αντιστοίχιση

Πάτησε πρώτα έναν όρο και μετά τη σωστή πρόταση.

Υπολόγισε με δύο τρόπους

Μπορείς να δουλέψεις πρώτα την παρένθεση ή να την ανοίξεις. Και οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Η εξήγηση, μετά τον έλεγχο, δείχνει και τους δύο.